Habe eine Lösung für das Problem dank dieses Beitrags gefunden: Speichern Von Cookies Zulassen
Offenbar tritt dieses Verhalten nur auf, wenn unter "Einstellungen für das Löschen der Chronik" die Checkbox bei Cookies gesetzt ist. Nach dem Entfernen des Häckchens, werden nur noch die Cookies gelöscht, für die es keine Ausnahmeerlaubnis gibt.
Schon seltsam, dass FF sich beim regulären Beenden, bei mir hier anders verhält als beim Herunterfahren des Rechners. Wenn das ein Bug ist, dann bitte das Ticket nach mir benennen
Vielen Dank!