Das kommt ganz darauf an, wie du dich mit Thunderbird an web.de anmeldest. Normale POP3-Konten laden normalerweise die Mails herunter. Das heißt, dass sie lokal auf dem Rechner gespeichert und vom Server gelöscht werden. Man KANN es so einstellen, dass Mails beim Herunterladen nicht auf dem Server gelöscht werden. Aber wie gesagt, dass muss extra eingestellt werden. Nutzt man IMAP als Kontoart, dann synchronisiert man das Konto. Sprich, das was man in Thunderbird macht, wird mit dem web.de Konto auf dem Server abgeglichen. Und andersherum natürlich auch.
Meld dich doch erst mal per Browser in dein web.de Konto an. Sind dort noch Mails im Posteingang?