Wieso muss ich mich immer wieder neu anmelden ?

Bei Gmail müssen die Cookies erhalten bleiben. bei outlook wahrscheinlich auch, aber da ich outlook nicht nutze, kann ich es nicht mit Sicherheit sagen.

Ein Irrtum liegt vor, was für was zuständig ist.

Das gespeicherte Passwort sorgt NICHT dafür das du auf Seiten automatisch eingeloggt bist/wirst.
Es sorgt dafür, das in den entsprechenden Feldern deine Einloggdaten bereits eingetragen sind, wenn du dich anmelden musst/willst.
Den Vorgang des Einloggen musst du aber immer selbst starten.
Des weiteren kann die Webseite bestimmen ob überhaupt ein Passwort gespeichert werden kann.

Das automatische Einloggen wird durch Cookies gesteuert.
Die Webseite legt dazu auf deinem Rechner eine Datei (das Cookie) an, um zu bestätigen das du dich eingeloggt hast. Beim nächsten Aufruf der Seite überprüft diese ob eine solche Datei vorhanden ist. Ist sie es, wirst du automatisch eingeloggt.
Auch in diesem Fall kann die Seite diese Funktion unterbinden.

Du selbst musst nun also überprüfen, ob bei dir Cookies zugelassen sind, diese nicht bei beenden des Firefox gelöscht werden, und ob die Webseite ein automatisches Einloggen überhaupt zulässt.